2018.1月.掲載

　中 心からの距離の二乗に比例した中心力がおもりにかかるような装置を作製しました。

  左はストロボ写真ではなく、撮影した動画から15分 の1秒 間隔（2コ マ分）で１周回分を抜き出し， 暗比 較で自動合成したものです。 質量が 約１50gの球形の重りを２つ重ねたものを天井から糸で吊るし、それを糸が中心へ引いています。 ２個の鉛重りの重なり方が変化しているのは， カメラの位置が中心の真上から少し外れているためです。

 結 果として，軌道は閉じた楕円となっています。 こういうことがやりたかったのです。

科学館では見ることができない

やはり空中に吊る方法で

そこで、実験室の天井から重りを 糸で吊って、中心位置から糸で重りを引くことにしました。 無摩擦を実現するには、一番手っ取り早い方法です。糸吊式の問題点は 吊り糸の長さが有限（床から天井まで2.6mていど） なので、重りが中心位置から離れるほど、重力による位置エネルギーを持ってしまうことです。そのエネルギー増加を打ち消すように中心力を作る必要があります。
  次図は作製した中心装置です。中心力発生のための引き糸は重りの運動面を避けるため、プーリーを使って引き回し、別な装置に連結します。

逆二乗力をどう作るか（�@スロープ案） さて、中心から来る糸を逆二乗力で引かなくてはなりません。 　　初めに試したのは右図のようにカーブを描いたスロープにローラーを走らせる方法です。 　　スロープは1/x曲線にローラー半径を加味した包絡線にします。 　　直角な方向から一定の力f で引かせます。充分長い糸ゴムならほぼ一定の力になります。

  スロープの形を求めましよう。位置エネル ギーの合計が1/xに比例した位置エネルギーにならなければならないので、 中心からの距離をx ，ローラーの中心位置の 関数をY(x) としてすれば， 次 式のように表せます。　

ここで，定数は次の通りです。
　　m ：重りの質量，K ： 引力の定数，f  ：糸ゴムの力，g  ：重力加速度，L ： 吊り糸の長さ

Eq.1から、次のように関数（定数項を除く）が得られました。

さらに、このカーブからプーリー半径を切り下げた 包絡線がスロープのカーブです。

ところが上手く行かな い 　 　右が実際に作成したスロープです。 ところが、ローラーとの滑らかな接触が難しいのです。 ローラーはスロープ上を抵抗なく運動する必要があり、 ロー ラーの軸はフラフラせずにスロープと常に直角に保たなければなりません。 そのためしっかり作ると、 どうしてもローラー部の重量が増えます。 重りと連動している部分に 無視できない質量があると、 余計な運動エネルギーが発生してしまい、 それでは転がる玉と同じになって致命的です。 そのような点で軽量のローラーを作ることが 難しいのです。
でも、Y カー ブって‥ しかし、スロープを眺めていて、あることに気付きました。 スロープのカーブが円の一部に近いのです。右はエクセル上でＹ曲線と正確な円弧とを重ねた図です。各定数を調整すると、一定範囲で、完全な一致ではないが、右の図ていどに は重なるのです。これは吊り糸式の効果と思われます。

右 はフィットする円弧をさがすためのエクセルシートです。 黒が目的の位置エネルギー変化の曲線、 青 はそこから重りの重力による位置エネルギーを差引いたＹ曲線、 赤が円弧の曲線です。     右のよ うに、Ｙ曲線は最大値があり、 これよりｘが大きいと連結糸が弛んでしまうので、 そ こがｘの限界になります。 右の例では ｘが約11cm〜24cmの範囲で重なっています。　    xが10cm以下になると、逆二乗力より急激に大きな力になってしまうので、 アー ムにはストッパーを儲け、 中心装置には円形の柵を設けています。    ｘが限界の位置のときの円弧の中心からの動径の角度と、その時のアームの角度が一致するように 連 結糸の長さを調節します。

右は装置全体の配置図です。 　中 心装置から回転アームまでの 連結糸には 伸びの少ない高密度ポリエチレン製の釣り糸を使いました。 　回転アームにかかる力をほぼ一定にするため、 糸 ゴムは長いものを使います。 実際には輪ゴムをつないで、 糸ゴムにし、 自然長の２倍程度に伸ばして 目的の1Nていどの力に調整して使っています。  ペー ジのトップに置いた写真は  K=0.058 L=2.6[m] m=0.302[g] f=0.88[N] R=15.0[cm]  の 条件で撮影したものです。 吊り糸の長さがより短かくなると、中心からの距離ｘの範囲はより狭くなりますが、 机上の装置として 吊り糸１ｍていども可能と思います。

軌道への投入については、ば ねなどを利用して投入器を作製しても良いでしょうが、吊り糸を弛ませないように手で投げ込んでも充分です。 　ｘの範囲からはみ出ない限りは、楕円形の軌道になるはずですから、適当な角度・速度で投入して構いません。はみ出た時 は円形の柵に当たるか、外から歪んだ軌道で戻ってくれます。思い通りの軌道に投入するには多少の慣れが必要です。 　ｘの範囲の制約のために離心率の大きには限度があります。しかし、そんなに扁平でなくとも、ｘが増減し、速度も増減す る様子を楽しむことが出来ます。

　

中心力が逆二乗力になっているかどうかは、 楕円軌道の長軸が回転するかどうかで判断できます。    右はシミュレーションですが 少しでも２乗以下なら反時計回り、 ２乗以上なら時計回 りに、楕円の軸が回転します。 　　You-tube動画

逆 1.9乗力

逆 2.1乗力